分析（一）取AC中点O，AP中点D，连接OP，OB，OD，BD三棱锥求cd垂直平面pac，导出PO⊥AC，BO⊥AC，OD∥PC，使得平面BDO⊥平面pac@ >三棱锥求cd垂直平面pac，PC∥平面BDO，从中可以得到结果。

(Ⅱ)以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，用向量法求两者由平面 BDO 和平面 PBC 构成的平面角的切线面角。

解决方案

解决方法：（I）取AC的中点O，AP的中点D，连接OP、OB、OD、BD，

∵在三角锥P-ABC中，平面pac@>⊥平面ABC，△pac@>是等边三角形，AC=2，AB⊥BC，AB=BC。

∴PO⊥AC，BO⊥AC，OD∥PC，

∵平面ABC∩平面pac@>=AC，∴PO⊥平面ABC，BO⊥平面pac@>，

∵BO? BDO 平面，∴ BDO 平面⊥ 平面pac@>，

∵OD？平面BDO，PC？平面 BDO阳离子聚丙烯酰胺，

∴PC∥平面BDO，

∵过B点的平面α平行于直线PC，垂直于平面pac@>,

∴平面BDO是平面α，

∵α 在 O 点与 AC 相交，在 D 点与 PA 相交，

∴O是AC的中点，D是AP的中点。

(Ⅱ)∵PO⊥平面ABC，∴∠PBO为线PB与平面ABC所成的夹角，

∵直线PB与平面ABC所成的夹角等于$rac{π}{3}$,∴∠PBO=$rac{π}{3}$,

∵△pac@>是等边三角形，AC=2，AB⊥BC，AB=BC，

∴PO=$sqrt{3}$, AO=CO=BO=1,

O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

O(0, 0, 0）, B(1, 0, 0）, D(0 , -$rac{1}{2}$, $rac{sqrt{ 3}}{2}$), C(0, 1, 0）, P(0, 0, $sqrt {3}$),

${OB}$=(1, 0, 0）, ${OD}$=(0, -$rac{1}{2 }$, $rac{sqrt{ 3}}{2}$), ${PB}$=(1, 0, -$sqrt{3}$), ${PC}$=(0 , 1, -$sqrt{3} $),

设置平面BDO的法向量${m}$=(x, y, z),

然后 $ left{{}{l}{{m}•{OB}=x=0}\{{m}•{OD}=-rac{1}{ 2}y+rac {sqrt{3}}{2}z=0}end{}.$，取z=1，得到${m}$=(0, $sqrt{3}$ , 1）@ >,

设置平面PBC的法向量${n}$=(a, b, c),

那么 $left{{}{l}{ {n}•{PB}=a-sqrt{3}c=0}\{{n}•{PC}= b-sqrt{3}c=0}end{}.$, 取 a=$sqrt{3}$, 得到 ${n}$=($sqrt{3}, sqrt{3 }$, 1）@>,

设平面BDO与平面PBC所成的二面角的平面角为θ，

那么 cosθ=$rac{|{m}•{n}|}{|{m}| •|{n}|}$=$rac{4}{sqrt{4}•sqrt{7}}$=$rac{2}{sqrt{7}}$, sinθ=$ sqrt{1-rac{4}{7}}$=$rac{sqrt{3}}{sqrt{7}}$,

tanθ=$ rac{sinθ}{cosθ}$=$rac{sqrt{3}}{2}$,

∴平面BDO与平面PBC形成的二面角的平面角的切线为$ rac{sqrt{3}}{2}$。

评论 测试点位置的确定和求二面角正切的方法属于中等题。解题时要认真复习题，注意向量法的合理使用。

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