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【】平面α与直线PB与平面PAC垂直
发布时间:2022-05-13 10:42:41 浏览 109次 巩义市维纳净水材料有限公司

分析(一)取AC中点O,AP中点D,连接OP,OB,OD,BD三棱锥求cd垂直平面pac,导出PO⊥AC,BO⊥AC,OD∥PC,使得平面BDO⊥平面pac@ >三棱锥求cd垂直平面pac,PC∥平面BDO,从中可以得到结果。

(Ⅱ)以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,用向量法求两者由平面 BDO 和平面 PBC 构成的平面角的切线面角。

解决方案

解决方法:(I)取AC的中点O,AP的中点D,连接OP、OB、OD、BD,

∵在三角锥P-ABC中,平面pac@>⊥平面ABC,△pac@>是等边三角形,AC=2,AB⊥BC,AB=BC。

∴PO⊥AC,BO⊥AC,OD∥PC,

∵平面ABC∩平面pac@>=AC,∴PO⊥平面ABC,BO⊥平面pac@>,

∵BO? BDO 平面,∴ BDO 平面⊥ 平面pac@>,

∵OD?平面BDO,PC?平面 BDO阳离子聚丙烯酰胺

∴PC∥平面BDO,

∵过B点的平面α平行于直线PC,垂直于平面pac@>,

∴平面BDO是平面α,

∵α 在 O 点与 AC 相交,在 D 点与 PA 相交,

∴O是AC的中点,D是AP的中点。

(Ⅱ)∵PO⊥平面ABC,∴∠PBO为线PB与平面ABC所成的夹角,

∵直线PB与平面ABC所成的夹角等于$ rac{π}{3}$,∴∠PBO=$ rac{π}{3}$,

∵△pac@>是等边三角形,AC=2,AB⊥BC,AB=BC,

∴PO=$sqrt{3}$, AO=CO=BO=1,

O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,

O(0, 0, 0), B(1, 0, 0), D(0 , -$ rac{1}{2}$, $ rac{sqrt{ 3}}{2}$), C(0, 1, 0), P(0, 0, $sqrt {3}$),

${OB}$=(1, 0, 0), ${OD}$=(0, -$ rac{1}{2 }$, $ rac{sqrt{ 3}}{2}$), ${PB}$=(1, 0, -$sqrt{3}$), ${PC}$=(0 , 1, -$sqrt{3} $),

设置平面BDO的法向量${m}$=(x, y, z),

然后 $ left{{}{l}{{m}•{OB}=x=0}\{{m}•{OD}=- rac{1}{ 2}y+ rac {sqrt{3}}{2}z=0}end{}.$,取z=1,得到${m}$=(0, $sqrt{3}$ , 1)@ >,

设置平面PBC的法向量${n}$=(a, b, c),

那么 $left{{}{l}{ {n}•{PB}=a-sqrt{3}c=0}\{{n}•{PC}= b-sqrt{3}c=0}end{}.$, 取 a=$sqrt{3}$, 得到 ${n}$=($sqrt{3}, sqrt{3 }$, 1)@>,

设平面BDO与平面PBC所成的二面角的平面角为θ,

那么 cosθ=$ rac{|{m}•{n}|}{|{m}| •|{n}|}$=$ rac{4}{sqrt{4}•sqrt{7}}$=$ rac{2}{sqrt{7}}$, sinθ=$ sqrt{1- rac{4}{7}}$=$ rac{sqrt{3}}{sqrt{7}}$,

tanθ=$ rac{sinθ}{cosθ}$=$ rac{sqrt{3}}{2}$,

∴平面BDO与平面PBC形成的二面角的平面角的切线为$ rac{sqrt{3}}{2}$。

评论 测试点位置的确定和求二面角正切的方法属于中等题。解题时要认真复习题,注意向量法的合理使用。

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